Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations in two variables) प्रश्नावली 3 (F)

 प्रश्नावली 3 (F) 

Question 1

निमलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

3x+y=19,4 x-3 y=8

Sol :

3x+y=19...(i)

4x-3y=8...(ii)

समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) के साथ जोड़ने पर

13x=65

x=5

समीकरण (i) में x=5 रखने पर,

3×5+y=19

15+y=19

y=19-15=4

x=5 , y=4

Question 2

निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

6x+3y=6xy , 2x+4y=5xy

Sol :

दिए गए समीकरण हैं :

6x+3y=6xy 

xy का दोनों पक्षों में भाग करने पर,

$\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}=\frac{6 x y}{x y}$

$\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=6$...(i)

 2x+4y=5xy (दिया है)

x y का दोनों पकों में भाग करने पर,

$\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}=\frac{5 x y}{x y}$

$\frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5$...(ii)

समीकरण (i) में 4 का गुणा तथा (ii) में 3 का गुंणा करके घटाने पर,

$\begin{aligned}\frac{24}{y}+\frac{12}{x}&=24 \\\frac{6}{y}+\frac{12}{x}&=15 \\(-)(-)&~\!(-) \\ \hline \frac{18}{y}&=9\end{aligned}$

9y=18

y=2

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर ,

$\frac{6}{2}+\frac{3}{x}=6$

$3+\frac{3}{x}=6$

$\frac{3}{x}=3$

3x=3

x=1

अत: x=1 तथा y=2

Question 3

निम्नलिखित समीकरणें को हल कीजिए :

(a+b) x+(a-b) y=2ab

(a+b) x-(a-b) y=ab

Sol :

(a+b) x+(a-b) y=2ab...(i)

(a+b) x-(a-b) y=ab...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

2(a+b)x=3ab

$x=\frac{3 a b}{2(a+b)}$

समीकरण (i) में x का मान रखने पर

$(a+b) \times \frac{3 a b}{2(a+b)}+(a-b) y=2 a b$

$\frac{3 a b}{2}+(a-b) y=2 a b$

$(a-b) y=2 a b-\frac{3 a b}{2}=\frac{a b}{2}$

$y=\frac{a b}{2(a-b)}$

$x=\frac{3 a b}{2(a+b)}, y=\frac{a b}{2(a-b)}$

Question 4

निमलिखित समीकरणें को हल कीजिए :

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}, a x+b y=a^{2}+b^{2} .$

Sol :

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$

$x=\frac{a}{b} y$...(i)

$a x+b y=a^{2}+b^{2}$...(ii)

समीकरण (ii) में x का मान रखने पर,

$a \times \frac{a}{b} y+b y=a^{2}+b^{2}$

$\frac{a^{2} y+b^{2} y}{b}=a^{2}+b^{2}$

$\left(a^{2}+b^{2}\right) \frac{y}{b}=a^{2}+b^{2}$

y=b

समीकरण (1) में y का मान रखने पर,

$x=\frac{a}{b} \times b=a$

x=a, y=b

Question 5

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

px+qy=p-q

qx-py=p+q

Sol :

दिए गए रैखिक समीकरण युग्म :

px+qy=p-q

px+qy-(p-q)=0...(i)

qx-py=p+q

qx-py-(p+q)=0...(ii)

वज्रगुणन विधि से :

$\frac{x}{q \times-(p+q)-(-p) \times-(p-q)}=\frac{y}{q \times-(p-q)-p \times-(p+q)}=\frac{1}{p \times-p-q \times q}$

$\frac{x}{-p q-q^{2}-p^{2}+p q}=\frac{y}{-p q+q^{2}+p^{2}+p q}=\frac{1}{-p^{2}-q^{2}}$

$\frac{x}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}=\frac{y}{p^{2}+q^{2}}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$

$\frac{x}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$

$x=\frac{p^{2}+q^{2}}{p^{2}+q^{2}}$

∴x=1

$\frac{y}{p^{2}+q^{2}}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$

$y=\frac{p^{2}+q^{2}}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$

∴y=-1

अतः x=1 तथा y=-1 समीकरणों के हल होंगे।

Question 6

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b, \frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$

Sol :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b$...(i)

$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$...(ii)

समीकरण (i) के हर को a से गुणा करने पर,

$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{a b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$...(iii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (iii) को घटाने पर

$y\left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a b}\right)=1-\frac{b}{a}$

$y \frac{(a-b)}{a b^{2}}=\frac{a-b}{a}$

$y=\frac{a b^{2}(a-b)}{a(a-b)}$

$y=b^{2}$

समीकरण (ii)  मे,

$\frac{x}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=2$

$\frac{x}{a^{2}}+1=2$

$\frac{x}{a^{2}}=2-1=1$

$x=a^{2}$

$x=a^{2}, y=b^{2}$

Question 7

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

ax+by=c

bx+ay=1+c

Sol :

दिए गए रेखिक समीकरण युग्म :

ax+by=c

ax+by-c=0...(i)

bx+ay=1+c

bx+ay-(1+c)=0...(ii)

वज्रगुणन विधि से :

$\frac{x}{b x-(1+c)-a x-c}=\frac{y}{b x-c-a x-(1+c)}=\frac{1}{a \times a-b \times b}$

$\frac{x}{-b-b c+a c}=\frac{y}{-b c+a+a c}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$

$\frac{x}{a c-b c-b}=\frac{y}{a c-b c+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$

$\frac{x}{c(a-b)-b}=\frac{y}{c(a-b)+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$

$\frac{x}{c(a-b)-b}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$

∴$x=\frac{c(a-b)-b}{a^{2}-b^{2}}$

और $\frac{y}{c(a-b)+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$

∴$y=\frac{c(a-b)+a}{a^{2}-b^{2}}$

अतः समीकरणों के हल होंगे :

$x=\frac{c(a-b)-b}{a^{2}-b^{2}}$ तथा $y=\frac{c(a-b)+a}{a^{2}-b^{2}}$.

Question 8

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

$\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}=2, \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$

Sol :

$\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}=2$

$\frac{2 b x+a y}{a b}=2$

2bx+ay=2ab...(i)

$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$

$\frac{b x-a y}{a b}=4$

bx-ay=4ab...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

3bx=6ab

x=2a

समीकरण (ii) में x=2a रखने पर

b×2a-ay=4ab

ay=-2ab

y=-2b

x=2a , y=-2b

Question 9

निम्नलिखित समीकरणो को हल कीजिए :

$\frac{1}{5 x}+\frac{1}{6 y}=12, \frac{1}{3 x}-\frac{3}{7 y}=8$

Sol :

$\frac{1}{5 x}+\frac{1}{6 y}=12$...(i)

$\frac{1}{3 x}-\frac{3}{7 y}=8$...(ii)

समीकरण (i) में हर को 3 से तथा' समीकरण (ii) में हर को 5 से गुणा करने पर

$\frac{1}{15 x}+\frac{1}{18 y}=4$...(iii)

$\frac{1}{15 x}+\frac{3}{35 y}=\frac{8}{5}$...(iv)

समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर

$\frac{1}{18 y}+\frac{3}{35 y}=4-\frac{8}{5}$

$\frac{35+54}{18 \times 35 y}=\frac{20-8}{5}$

$\frac{89}{18 \times 35 y}=\frac{12}{5}$

$y=\frac{5 \times 89}{12 \times 18 \times 35}=\frac{89}{1512}$

y का मान समीकरण (i) में रखने पर

$\frac{1}{5 x}+\frac{1512}{6 \times 89}=12$

$\frac{1}{5 x}=12-\frac{1512}{6 \times 89}$

$=\frac{12 \times 6 \times 89-1512}{6 \times 89}$

$\frac{1}{5 x}=\frac{4896}{6 \times 89}$

$x=\frac{6 \times 89}{5 \times 4896}=\frac{89}{5 \times 816}=\frac{89}{4080}$

$x=\frac{89}{4080}, y=\frac{89}{1512}$

Question 10

निम्नलिखित समीकरणों के युगमों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}, \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}$

Sol :

दिए गए समीकरण है :

$\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}$...(i)

$\frac{1}{2(3 x+y)} \frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}$...(ii)

समीकरण (ii) में 2 का गुणा करने पर,

$\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=-\frac{1}{4}$...(iii)

समीकरण (i) तथा (iii) को जोड़ने पर,

$\begin{aligned}\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}&=\frac{3}{4} \\\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}&=-\frac{1}{4} \\ \hline \frac{2}{3 x+y}&=\frac{2}{4}\end{aligned}$

$\frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4}$

3x+y=4...(iv)

(3 x+y) का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\frac{1}{4}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}$

$\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3 x-y}=\frac{2}{4}$

$\frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}$

3x-y=2...(v)

समीकरण (iv) तथा (v) को जोड़ने पर,

6x=6

∴x=1

x का मान समीकरण (iv) में रखने पर,

3×1+y=4

3+y=4

∴y=4-3=1

अतः x=1 तथा y=1 समीकरणो के हल होंगे।

Question 11

निम्नलिखित समीकरणीं को हल कीजिए :

$\frac{5}{x+1}-\frac{2}{y-1}=\frac{1}{2}, \frac{2}{y-1}+\frac{10}{x+1}=2 \frac{1}{2}$

Sol :

माना x+1=u तथा y-1=v, तब

$\frac{5}{u}-\frac{2}{v}=\frac{1}{2}$...(i)

$\frac{2}{v}+\frac{10}{u}=\frac{5}{2}$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$\frac{15}{u}=3$

u=5

समीकरण (i) में u=5 रखने पर

$\frac{5}{5}-\frac{2}{v}=\frac{1}{2}$

$\frac{2}{v}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

v=4

x+1=u=5

x=4

y-1=v=4

y=5

अतः x=4 , y=5

Question 12

निम्नलिखित समीकरणो को हल कीजिए :

$\frac{40}{x+y}+\frac{2}{x-y}=5, \frac{25}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1$

Sol :

माना x+y=u तथा x-y=v, तब

$\frac{40}{u}+\frac{2}{v}=5$...(i)

$\frac{25}{u}-\frac{3}{v}=1$...(ii)

समीकरण (i) में 3 से तथा समीकरण (ii) में 2 से गुणा करने पर

$\frac{120}{u}+\frac{6}{v}=15$...(iii)

$\frac{50}{u}-\frac{6}{v}=2$...(iv)

समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर

$\frac{170}{u}=17$

u=10

समीकरण (1) में u=10 रखने पर,

$\frac{40}{10}+\frac{2}{v}=5$

$\frac{2}{v}=5-4=1$

या v=2

अब x+y=u=10

x-y=v=2

जोड़ने पर, 2x=12

या x=6

6+y=10

या y=4

अतः x=6 , y=4

Question 13

निम्नलिखित समीकरणें को हल कीजिए :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2, a x-b y=a^{2}-b^{2}$

Sol :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$

$\frac{b x+a y}{a b}=2$

bx+ay=2ab...(i)

$a x-b y=a^{2}-b^{2}$...(ii)

समीकरण (i) को a से तथा समीकरण (ii) को b से गुणा करने पर

$a b x+a^{2} y=2 a^{2} b$...(i)

$a b x-b^{2} y=a^{2} b-b^{3}$...(iv)

समीकरण (iii).में से समीकरण (iv) को घटाने पर

$y\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{2} b+b^{3}$

$=b\left(a^{2}+b^{2}\right)$

या y=b

समीकरण (i) में y=b रखने पर

bx+ab=2ab

या bx=ab

या x=a

अतः x=a ,y=b

Question 14

निम्नलिखित समीकरणो के युग्मो को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{4}{x}+3 y=14, \frac{3}{x}-4 y=23$

Sol :

दिए गए समीकरण हैं :

$\frac{4}{x}+3 y=14$...(i)

तथा $\frac{3}{x}-4 y=23$...(ii)

समीकरण (i) में 4 का गुणा तथा समीकरण (ii) में 3 का गुणा करने पर,

$\frac{16}{x}+12 y=56$..(iii)

$\frac{9}{x}-12 y=69$...(iv)

समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,

$\frac{25}{x}=125$

125x=25

∴$x=\frac{25}{125}=\frac{1}{5}$

अब x का मान समीकरण (i) में रखने पर

$\frac{4}{1 / 5}+3 y=14$

20+3y=214

3y=14-20

$y=\frac{-6}{3}$

∴y=-2

अत: $x=\frac{1}{5}$ तथा $y=-2 .$

Question 15

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए

-152x-378y=-74

-378 x+152 y=-604

Sol :

दिए गए रेखिक समीकरण युग्म हैं :

-152x-378y=-74...(i)

-378 x+152 y=-604...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,

-226 x-226 y=-678

-226(x+y)=-678

x+y=3...(iii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,

530x-530y=530

530(x-y)=530

x-y=1...(iv)

समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,

2x=4

∴x=2

x का मान समीकरण (iii) में रखने पर,

2+y=3

∴y=3-2=1

अत : x=2, तथा y=1 समीकरणें के हल हेंगें।