Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations in two variables) प्रश्नावली 3 (E)

 प्रश्नावली 3 (E) 

Question 1

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

x+y=10xy, x-y=6xy

Sol :

x+y=10xy

x-y=6xy

दोनों समीकरणों के दोनों पक्षों में xy से भाग देने पर

$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=10$...(i)

$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=6$...(ii)

संमीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$\frac{2}{y}=16$

$\frac{1}{y}=8$

$y=\frac{1}{8}$

संमीकरण (i) में $y=\frac{1}{8}$ रखने पर

$8+\frac{1}{x}=10$

$\frac{1}{x}=2$

$x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{8}$

Question 2

निम्नलिखित समीकरणों के युम्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{7 x-2 y}{x y}=5, \frac{8 x+7 y}{x y}=15$

Sol :

दिए गए समीकरण हैं :

$\frac{7 x-2 y}{x y}=5$...(i)

$\frac{8 x+7 y}{x y}=15$...(ii)

संमीकरण (i) से ,

$\frac{7 x}{x y}-\frac{2 y}{x y}=5$

$\frac{7}{y}-\frac{2}{x}=5$...(iii)

संमीकरण (ii) से ,

$\frac{8 x}{x y}+\frac{7 y}{x y}=15$

$\frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15$...(iv)

समीकरण (iii) में 7 का गुणा तथा समीकरण (iv) में 2 का गुणा करके जोड़ने पर,

$\begin{aligned}\frac{49}{y}-\frac{14}{x}&=35 \\\frac{16}{y}+\frac{14}{x}&=30 \\ \hline\frac{65}{y}&=65\end{aligned}$

65y=65

y=1

y का मान समीकरण (iii) में रखने पर,

$7-\frac{2}{x}=5$

$\frac{2}{x}=7-5=2$

2x=2

x=1

अतः x=1 तथा y=1 समीकरणों के हल होंगो।

Question 3

निम्नलिखित समीकरणं को हल कीजिए :

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}, \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$

Sol :

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$...(i)

$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$...(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर,

$-\frac{1}{x}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{1-3}{24}=\frac{-2}{24}=-\frac{1}{12}$

x=12

समीकरण (i) में x=12 रखने पर

$\frac{1}{12}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$

$\frac{1}{y}=\frac{1}{24}-\frac{1}{12}=\frac{1-2}{24}=-\frac{1}{24}$

y=-24

x=12 , y=-24

Question 4

निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}=2 \frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}$

Sol :

दिए गए समीकरण हैं :

$\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}=2$...(i)

$\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}$...(ii)

माना $\frac{1}{x}=\mathrm{A}$ तथा $\frac{1}{y}=\mathrm{B}$ हो, तो

$\frac{1}{2} A+\frac{1}{3} B=2$

3A+2B=12...(iii)

$\frac{1}{3} A+\frac{1}{2} B=\frac{13}{6}$

2A+3B=13...(iv)

समीकरण (iii) में 2 का तथा संमींकरण (iv) में 3 का गुणा करके घटाने पर,

-5B=-15

∴B=3

अब B का मान समीकरण (iii) में रखने पर,

3A+2×3=12

3A+6=12

3A=12-6

3A=6

∴A=2

∵$A=\frac{1}{x}$

$2=\frac{1}{x}$

$x=\frac{1}{2}$

∵$B=\frac{1}{y}$

$\frac{1}{y}=3$

$y=\frac{1}{3}$

अत: $x=\frac{1}{2}$ तथा $y=\frac{1}{3}$

Question 5

निम्नलिखित समीकरणंं को हल कीजिए :

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=7 ; \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=1$

Sol :

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=7$...(i)

$\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=1$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$\frac{2}{x+y}=8$

$\frac{1}{x+y}=4$ या $4 x+4 x=1$...(iii)

समीकरण (i) में $\frac{1}{x+y}=4$ खखने पर,

$4+\frac{1}{x-y}=7$

$\frac{1}{x-y}=3$ या $3 x-3 y=1$ ...(iv)

समीकरण (iii) में 3 से तथा समीकरण (iv) में 4 से गुणा करके जोड़ने पर

24x=7 या $x=\frac{7}{24}$

समीकरण (iii) में $x=\frac{7}{24}$ रखने पर,

$4 \times \frac{7}{24}+4 y=1$ या $4 y=1-\frac{28}{24}=-\frac{4}{24}$

$y=-\frac{1}{24}$

$x=\frac{7}{24}, y=-\frac{1}{24}$

Question 6

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

$\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{3}=8, \frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{4}=4$

Sol :

$\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{3}=8$

$\frac{3 x+3 y-2 x+2 y}{6}=8$

x+5y=48...(i)

$\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{4}=4$

$\frac{4 x+4 y+3 x-3 y}{12}=4$

7x+y=48...(ii)

संमीकरण (ii) को 5 से गुणा करके समीकरण (1) में घटाने पर

34x=192

$x=\frac{192}{34}=\frac{96}{17}$

समीकरण (i) में $x=\frac{96}{17}$ रखने पर

$\frac{96}{17}+5 y=48$

$5 y=48-\frac{96}{17}=\frac{720}{17}$

$y=\frac{144}{17}$

$x=\frac{96}{17}, y=\frac{144}{17}$

Question 7

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :

$\frac{6}{x+y}-\frac{7}{x-y}=3, \frac{1}{2(x+y)}-\frac{1}{3(x-y)}=0 ; x+y \neq 0, x-y \neq 0$

Sol :

माना x+y=u तथा x-y=v, तब

$\frac{6}{u}-\frac{7}{v}=3$...(i)

$\frac{1}{2 u}-\frac{1}{3 v}=0$...(ii)

$\frac{1}{2 u}=\frac{1}{3 v}$

$\frac{1}{u}=\frac{2}{3 v}$...(iii)

समीकरण (i) से ,

$6 \times \frac{2}{3 v}-\frac{7}{v}=3$

$\frac{4}{v}-\frac{7}{v}=3$

$-\frac{3}{v}=3$

v=-1

समीकरण (iii) से, $\frac{1}{u}=\frac{2}{3 \times(-1)}=-\frac{2}{3}$

या $u=\frac{-3}{2}$

तब $x+y=-\frac{3}{2}$

तथा x-y=-1

जोड़ने पर, $2 x=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}$

या $x=-\frac{5}{4}$

तथा $\quad x+y=-\frac{3}{2}$

या $-\frac{5}{4}+y=-\frac{3}{2}$

या $y=\frac{5}{4}-\frac{3}{2}=\frac{5-6}{4}=-\frac{1}{4}$

अत : $x=-\frac{5}{4}, y=-\frac{1}{4}$

Question 8

निम्नलिखित समीकरणो के युग्मों को रैलिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$

$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$

Sol :

दिए गए समीकरण है

$\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$..(i)

$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$...(ii)

समीकरण (i) में 5 का गुणा तथा समीकरण (ii) में 2 का गुणा करके जोड़ने पर,

$\begin{aligned} \frac{50}{x+y}+\frac{10}{x-y}&=20 \\ \frac{30}{x+y}-\frac{10}{x-y}&=-4 \\ \hline \frac{80}{x+y}&=16\end{aligned}$

$x+y=\frac{80}{16}$...(iii)

x+y=5

(x+y) का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\frac{10}{5}+\frac{2}{x-y}=4$

$2+\frac{2}{x-y}=4$

$\frac{2}{x-y}=2$

x-y=1

अब समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़े पर,

2x=6

∴x=3

x का मान समीकरण (iii) में रखने पर,

3+y=5

y=5-3

y=2

अतः x=3 तथा y=2 समीकरणों के हल होंगे

Question 9

निम्नलिखित समीकरणों के युग्मो को रैखिक समीकरणों के युग्मो में बदलकर हल कीजिए :

$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2, \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$

Sol :

दिए गए समीकरण है:

$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$...(i)

$\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$...(ii)

माना $\frac{1}{\sqrt{x}}=A$ तथा $\frac{1}{\sqrt{y}}=B$ हो, तो

समीकरण 1 से, 2A+3B=2...(iii)

समीकरण 2 से, 4A-9B=-1...(iv)

समीकरण (iii) में 2 का गुणा करके (iv) से घटाने पर,

-15B=-5

$\mathrm{B}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

B का मान समीकरण (iii) में रखने पर,

$2 \mathrm{~A}+3 \times \frac{1}{3}=2$

2A+1=2

2A=2-1

2A=1

∴$\mathrm{A}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ हो, तब $\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\therefore \quad\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{x}$

$\frac{1}{4}=\frac{1}{x}$

x=4

और जब $\mathrm{B}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ हो, तब $\frac{1}{3}=\frac{1}{\sqrt{y}}$

$\therefore \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{y}$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{9}=\frac{1}{y}$

y=9

अतः x=4 तथा y=9

Question 10

निमरलिखित समीकरणो को हल कीजिए :

$7(y+3)-2(x+2)=14$

$4(y+2)+4(x+3)=44$

Sol :

$7(y+3)-2(x+2)=14$

7y+21-2x-4=14

-2x+7y=-3....(i)

$4(y+2)+4(x+3)=44$

4y+8+4x+12=44

4x+4y=24

2x+2y=12...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़न पर

9y=9

y=1

समीकरण (ii) से,

2x+2×1=12

2x=12-2=10

x=5

x=5 , y=1