प्रश्नावली 3 (E)
Question 1
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
x+y=10xy, x-y=6xy
Sol :
x+y=10xy
x-y=6xy
दोनों समीकरणों के दोनों पक्षों में xy से भाग देने पर
$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=10$...(i)
$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=6$...(ii)
संमीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
$\frac{2}{y}=16$
$\frac{1}{y}=8$
$y=\frac{1}{8}$
संमीकरण (i) में $y=\frac{1}{8}$ रखने पर
$8+\frac{1}{x}=10$
$\frac{1}{x}=2$
$x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{8}$
Question 2
निम्नलिखित समीकरणों के युम्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{7 x-2 y}{x y}=5, \frac{8 x+7 y}{x y}=15$
Sol :
दिए गए समीकरण हैं :
$\frac{7 x-2 y}{x y}=5$...(i)
$\frac{8 x+7 y}{x y}=15$...(ii)
संमीकरण (i) से ,
$\frac{7 x}{x y}-\frac{2 y}{x y}=5$
$\frac{7}{y}-\frac{2}{x}=5$...(iii)
संमीकरण (ii) से ,
$\frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15$...(iv)
समीकरण (iii) में 7 का गुणा तथा समीकरण (iv) में 2 का गुणा करके जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\frac{49}{y}-\frac{14}{x}&=35 \\\frac{16}{y}+\frac{14}{x}&=30 \\ \hline\frac{65}{y}&=65\end{aligned}$
65y=65
y=1
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
$7-\frac{2}{x}=5$
$\frac{2}{x}=7-5=2$
2x=2
x=1
अतः x=1 तथा y=1 समीकरणों के हल होंगो।
Question 3
निम्नलिखित समीकरणं को हल कीजिए :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}, \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$
Sol :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$...(i)
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$...(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर,
$-\frac{1}{x}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{1-3}{24}=\frac{-2}{24}=-\frac{1}{12}$
x=12
समीकरण (i) में x=12 रखने पर
$\frac{1}{12}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$
$\frac{1}{y}=\frac{1}{24}-\frac{1}{12}=\frac{1-2}{24}=-\frac{1}{24}$
y=-24
x=12 , y=-24
Question 4
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}=2 \frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}$
Sol :
दिए गए समीकरण हैं :
$\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}=2$...(i)
$\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}$...(ii)
माना $\frac{1}{x}=\mathrm{A}$ तथा $\frac{1}{y}=\mathrm{B}$ हो, तो
$\frac{1}{2} A+\frac{1}{3} B=2$
3A+2B=12...(iii)
$\frac{1}{3} A+\frac{1}{2} B=\frac{13}{6}$
2A+3B=13...(iv)
समीकरण (iii) में 2 का तथा संमींकरण (iv) में 3 का गुणा करके घटाने पर,
-5B=-15
∴B=3
अब B का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
3A+2×3=12
3A+6=12
3A=12-6
3A=6
∴A=2
∵$A=\frac{1}{x}$
$2=\frac{1}{x}$
$x=\frac{1}{2}$
∵$B=\frac{1}{y}$
$\frac{1}{y}=3$
$y=\frac{1}{3}$
अत: $x=\frac{1}{2}$ तथा $y=\frac{1}{3}$
Question 5
निम्नलिखित समीकरणंं को हल कीजिए :
$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=7 ; \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=1$
Sol :
$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=7$...(i)
$\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=1$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
$\frac{2}{x+y}=8$
$\frac{1}{x+y}=4$ या $4 x+4 x=1$...(iii)
समीकरण (i) में $\frac{1}{x+y}=4$ खखने पर,
$4+\frac{1}{x-y}=7$
$\frac{1}{x-y}=3$ या $3 x-3 y=1$ ...(iv)
समीकरण (iii) में 3 से तथा समीकरण (iv) में 4 से गुणा करके जोड़ने पर
24x=7 या $x=\frac{7}{24}$
समीकरण (iii) में $x=\frac{7}{24}$ रखने पर,
$4 \times \frac{7}{24}+4 y=1$ या $4 y=1-\frac{28}{24}=-\frac{4}{24}$
$y=-\frac{1}{24}$
$x=\frac{7}{24}, y=-\frac{1}{24}$
Question 6
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
$\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{3}=8, \frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{4}=4$
Sol :
$\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{3}=8$
$\frac{3 x+3 y-2 x+2 y}{6}=8$
x+5y=48...(i)
$\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{4}=4$
$\frac{4 x+4 y+3 x-3 y}{12}=4$
7x+y=48...(ii)
संमीकरण (ii) को 5 से गुणा करके समीकरण (1) में घटाने पर
34x=192
$x=\frac{192}{34}=\frac{96}{17}$
समीकरण (i) में $x=\frac{96}{17}$ रखने पर
$\frac{96}{17}+5 y=48$
$5 y=48-\frac{96}{17}=\frac{720}{17}$
$y=\frac{144}{17}$
$x=\frac{96}{17}, y=\frac{144}{17}$
Question 7
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
$\frac{6}{x+y}-\frac{7}{x-y}=3, \frac{1}{2(x+y)}-\frac{1}{3(x-y)}=0 ; x+y \neq 0, x-y \neq 0$
Sol :
माना x+y=u तथा x-y=v, तब
$\frac{6}{u}-\frac{7}{v}=3$...(i)
$\frac{1}{2 u}-\frac{1}{3 v}=0$...(ii)
$\frac{1}{2 u}=\frac{1}{3 v}$
$\frac{1}{u}=\frac{2}{3 v}$...(iii)
समीकरण (i) से ,
$6 \times \frac{2}{3 v}-\frac{7}{v}=3$
$\frac{4}{v}-\frac{7}{v}=3$
$-\frac{3}{v}=3$
v=-1
समीकरण (iii) से, $\frac{1}{u}=\frac{2}{3 \times(-1)}=-\frac{2}{3}$
या $u=\frac{-3}{2}$
तब $x+y=-\frac{3}{2}$
तथा x-y=-1
जोड़ने पर, $2 x=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}$
या $x=-\frac{5}{4}$
तथा $\quad x+y=-\frac{3}{2}$
या $-\frac{5}{4}+y=-\frac{3}{2}$
या $y=\frac{5}{4}-\frac{3}{2}=\frac{5-6}{4}=-\frac{1}{4}$
अत : $x=-\frac{5}{4}, y=-\frac{1}{4}$
Question 8
निम्नलिखित समीकरणो के युग्मों को रैलिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$
$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$
Sol :
दिए गए समीकरण है
$\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$..(i)
$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$...(ii)
समीकरण (i) में 5 का गुणा तथा समीकरण (ii) में 2 का गुणा करके जोड़ने पर,
$\begin{aligned} \frac{50}{x+y}+\frac{10}{x-y}&=20 \\ \frac{30}{x+y}-\frac{10}{x-y}&=-4 \\ \hline \frac{80}{x+y}&=16\end{aligned}$
$x+y=\frac{80}{16}$...(iii)
x+y=5
(x+y) का मान समीकरण (i) में रखने पर,
$\frac{10}{5}+\frac{2}{x-y}=4$
$2+\frac{2}{x-y}=4$
$\frac{2}{x-y}=2$
x-y=1
अब समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़े पर,
2x=6
∴x=3
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
3+y=5
y=5-3
y=2
अतः x=3 तथा y=2 समीकरणों के हल होंगे
Question 9
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मो को रैखिक समीकरणों के युग्मो में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2, \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$
Sol :
दिए गए समीकरण है:
$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$...(i)
$\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$...(ii)
माना $\frac{1}{\sqrt{x}}=A$ तथा $\frac{1}{\sqrt{y}}=B$ हो, तो
समीकरण 1 से, 2A+3B=2...(iii)
समीकरण 2 से, 4A-9B=-1...(iv)
समीकरण (iii) में 2 का गुणा करके (iv) से घटाने पर,
-15B=-5
$\mathrm{B}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
B का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
$2 \mathrm{~A}+3 \times \frac{1}{3}=2$
2A+1=2
2A=2-1
2A=1
∴$\mathrm{A}=\frac{1}{2}$
$\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ हो, तब $\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$\therefore \quad\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{x}$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{x}$
x=4
और जब $ \mathrm{B}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ हो, तब $\frac{1}{3}=\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\therefore \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{y}$
$\Rightarrow \quad \frac{1}{9}=\frac{1}{y}$
y=9
अतः x=4 तथा y=9
Question 10
निमरलिखित समीकरणो को हल कीजिए :
$7(y+3)-2(x+2)=14$
$4(y+2)+4(x+3)=44$
Sol :
$7(y+3)-2(x+2)=14$
7y+21-2x-4=14
-2x+7y=-3....(i)
$4(y+2)+4(x+3)=44$
4y+8+4x+12=44
4x+4y=24
2x+2y=12...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़न पर
9y=9
y=1
समीकरण (ii) से,
2x+2×1=12
2x=12-2=10
x=5
x=5 , y=1
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