Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations in two variables) प्रश्नावली 3 (D)

 प्रश्नावली 3 (D) 

Question 1 

निम्नलिखितं समीकरणों को वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए :

2x-y+4=0 , x+y-1=0

Sol :

2x-y+4=0...(i)
x+y-1=0...(ii)

वज्रगुणन से,
$\frac{x}{1-4}=\frac{y}{4+2}=\frac{1}{2+1}$
$\frac{x}{-3}=\frac{y}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{x}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{1}{1}$
$\frac{x}{-1}=\frac{1}{1}$
x=-1

$\frac{y}{2}=\frac{1}{1}$

y=2

अतः x=-1, y=2

Question 2

निम्नलिखित समीकरणों को वज्रगुणन विधि से हल कीजिए :
2x+y=5

3x+2y=8

Sol :

2x+y=5...(i)

3x+2y=8...(ii)

वज्रगुणन विधि से,

$\frac{x}{(1 \times-8)-(2 \times-5)}=\frac{y}{(3 \times-5)-(2 \times-8)}=\frac{1}{2 \times 2-3 \times 1}$

$\frac{x}{-8+10}=\frac{y}{-15+16}=\frac{1}{4-3}$
$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{1}{1}$

$\frac{x}{2}=\frac{1}{1}$

x=2

$\frac{y}{1}=\frac{1}{1}$

y=1

अतः x=2 तथा y=1 समीकरणो के युग्म का हल होगा ।

Question 3

निम्नलिखित समीकरणें को वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए :
4x+5y+2=0 , 3x+y+7=0

Sol :

4x+5y+2=0...(i)
3x+y+7=0...(ii)

वज्रगुणन से,

$\frac{x}{35-2}=\frac{y}{6-28}=\frac{1}{4-15}$

$\frac{x}{33}=\frac{y}{-22}=\frac{1}{-11}$

$\frac{x}{-3}=\frac{y}{2}=\frac{1}{1}$

$\frac{x}{-3}=\frac{1}{1}$
x=-3

$\frac{y}{2}=\frac{1}{1}$
y=2

अतः x=-3 , y=2

Question 4

निमलिखित समीकरणीं को वज्रगुण्न विधि से हल कीजिए :
8x+5y=9

3x+2y=4

Sol :

दिए गए रेखिक समीकरण हें :

8x+5y-9=0...(i)

3x+2y-4=0...(ii)

$\Rightarrow \frac{x}{(5 x-4)-(2 x-9)}=\frac{y}{(3 x-9)-(8 x-4)}=\frac{1}{(8 \times 2)-(3 \times 5)}$

$\Rightarrow \quad \frac{x}{-20+18}=\frac{y}{-27+32}=\frac{1}{16-15}$

अतः $\frac{x}{-2}=\frac{1}{1}$
x=-2

$\frac{y}{5}=\frac{1}{1}$

y=5

अतः x=-2  तथा y=5

Question 5

निम्नलिखित समीकरणीं को वज्रगुणन विधि से हल कीजिए :

ax+by=-p ,ax-cy=q

Sol :

ax+by+p=0...(i)

ax-cy-q=0...(ii)

वज्रगुणन से, 

$\frac{x}{-b q+p c}=\frac{y}{a p+a q}=\frac{1}{-a c-a b}$

$\frac{x}{-b q+p c}=\frac{1}{-(a c+a b)}$

$x=-\frac{-b q+p c}{(a c+a b)}=\frac{b q-p c}{a c+a b}$
$\frac{y}{a p+a q}=\frac{1}{-(a c+a b)}$
$y=-\frac{a p+a q}{a c+a b}=-\frac{a(p+q)}{a(b+c)}$
$y=-\frac{p+q}{b+c}$
$x=\frac{b q-p c}{a c+a b}, y=-\frac{p+q}{b+c}$

Question 6

निम्नलिखित समीकरणों को वज्रगुण्न विधि से हल कीजिए :
3x-5y=20

6x-10y=40

Sol :

दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म :

3x-5y-20=0...(i)

6x-10y-40=0...(ii)

उपरोक्त दोनों समींकरणों में वज्रगुणन विधि का प्रयोग करने से पहले x तथा y के गुणांकों के अनुपातों की तुलना करेंगे।

समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=3, b_{1}=-5$

$c_{1}=-20$

तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,

$a_{2}=6, b_{2}=-10$

$c_{2}=-40$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}$

∵$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}$

अतः समीकरण युग्म के अपरिभित रूप से अनेक हल होंगे क्योंकि इस प्रश्न में वज्रगुणन विधि का प्रयोग नहीं हो रहा है।

Question 7

निम्नलिखित समीकरणों को वज्रगुणन विधि से हल कीजिए :

3x+7y=13 ; 4x+5y=13

Sol :

3x+7y-13=0

4x+5y-13=0

वज्रगुणन से ,

$\frac{x}{\{-7 \times(-13)\}+(\cdot 5 x \cdot 13)}=\frac{y}{(-4) \times \cdot 13+\cdot 3 \times \cdot 13}=\frac{1}{(\cdot 3 \times 5-\cdot 4 \times \cdot 7)}$

$\frac{x}{-.091+.065}=\frac{y}{-.052+.039}=\frac{1}{.15-.28}$

$\frac{x}{-.026}=\frac{y}{-.013}=\frac{1}{-.13}$

$\frac{x}{-.026}=-\frac{1}{.13}$

$x=\frac{.026}{.13}=0 \cdot 2$

$\frac{y}{-.013}=-\frac{1}{0 \cdot 13}$

$y=\frac{.013}{+.13}$

y=0.1

Question 8

निम्नलिखित समीकरणों को वज्नगुणन विधि से हल कीजिए :

x-3y-3=0

3x-9y-2=0

Sol :

दिए गए रखिक समीकरणों के युग्म :

x-3y-3=0...(i)

3x-9y-2=0...(ii)

उपरोक्त दोनों समीकरणों में वज्मगुणन विधि का प्रयोग करने से पूर्व $x$ तथा $y$ के गुणांकों के अनुपातों की तुलना करेगे।

(i) की  तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,

$a_{1}=1, b_{1}=-3$

$c_{1}=-3$

तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,

$a_{2}=3, b_{2}=-9$

$c_{2}=-2$

∴$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ अर्थात $\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \neq \frac{3}{2}$

Question 9

निम्नलिखित समीकरणें को वज्रगुणन विधि से हल कीजिए :

x-3y-7=0

3x-3y-15=0

Sol :

दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म :

x-3y-7=0...(i)

3x-3y-15=0...(ii)

वज्रगुण्न विधि से हल :

अत: $\frac{x}{(-3 x-15)-(-3)(-7)}=\frac{y}{(3 x-7)-(1 \times-15)}=\frac{1}{1 \times(-3)-(3)(-3)}$

$\frac{x}{45-21}=\frac{y}{-21+15}=\frac{1}{-3+9}$

$\frac{x}{24}=\frac{y}{-6}=\frac{1}{6}$

$\frac{x}{24}=\frac{1}{6} \Rightarrow x=\frac{24}{6}$

x=4

$\frac{y}{-6}=\frac{1}{6} \Rightarrow y=\frac{-6}{6}$

y=-1

अतः x=4 तथा y=-1 समीकरणों के युग्म के हल होंगे।