प्रश्नावली 3 (B)
Question 1
समीकरण 7x+2y=22 में यदि $y=\frac{1}{2}$, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
7x+2y=22
7x=22-2y
$x=\frac{1}{7}(22-2 y)$
$y=\frac{1}{2}$ रखने पर, $x=\frac{1}{7}\left(22-2 \times \frac{1}{2}\right)$
$=\frac{1}{7}(22-1)$
$=\frac{1}{7} \times 21=3$
अतः x=3
Question 2
हल कीजिए : 2 x+3 y=7 ; y+3=0
Sol :
2x+3y=7...(i)
y+3=0...(ii)
समीकरण (ii) से, y=-3
समीकरण (i) में y=-3 रखने पर
2x+3(-3)=7
2x-9=7
2x=16
x=8
अतः x=8 , y=-3
Question 3
समीकरण $\frac{1}{x}+\frac{5}{y}=3$ में x=2 हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
$\frac{1}{x}+\frac{5}{y}=3$
और x=2 रखने पर
$\frac{1}{2}+\frac{5}{y}=3$
$\frac{5}{y}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
y=2
Question 4
निम्नलिखित समीकरणों के युग को विलोपन विधि से हल कीजिए।
(i) 3 x+4 y=10 अर 2 x-2 y=2
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरण हें :
3x+4y=10..(i)
2x-2y=2...(ii)
समीकरण (ii) में 2 का गुणा करने पर,
4x-4y=4
समीकरण (i) तथा (iii) को जोड़ने पर
7x=14
∴x=2
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
3×2+4y=10 या 6+4y=10
4y=10-6 या 4y=4
∴y=1
अत: x=2 तथा y=1 दिए गए रैखिक समीकरणों के हल होंगे।
(ii) 3 x-5 y-4=0 और 9 x=2 y+7
Sol :
दिए गए रैखिक समीकरण हैं :
3x-5y-4=0
3x-5y=4...(i)
9x=2y+7
9x-2y=7...(ii)
समीकरण (i) में 3 का गुणा करने पर,
9x-15y=12...(iii)
समीकरण (iii) से (ii) को घटाने पर,
-13y=5
∴$y=-\frac{5}{13}$
y का मान संमीकरण (i) में प्रतिस्भापित करने पर,
$3 x-5\left(-\frac{5}{13}\right)=4$ या $3 x+\frac{25}{13}=4$
$3 x=4-\frac{25}{13}$ या $3 x=\frac{27}{13}$
$x=\frac{27}{13 \times 3}$ या $x=\frac{9}{13}$
अतः $x=\frac{9}{13}$ तथा $y=-\frac{5}{13}$ समीकिमें के हल होंगे।
Question 5
हल कीजिए :
$\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=-1$ और $x-\frac{y}{3}=3$
Sol :
$\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=-1$
3x+4y=-6...(i)
$x-\frac{y}{3}=3$
3x-y=9...(ii)
समीकरण (ii) में 4 का गुणा करने पर,
12x-4y=36
समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर,
15x=30
∴x=2
x का मान समीकरण (i) मे प्रतिस्थापित करने पर
3×2+4y=-6
6+4y=-6
$y=-\frac{12}{4}$
∴y=-3
अतः x=2 तथा y=-3 दोनों समीकरणों के हल होंगे।
Question 6
समीकरण 5x-7y=8 और 10x+3y=33 से x का विलोपन कर, y में समीकरण ज्ञात कीजिए तथा हल कीजिए।
Sol :
5x-7y=8...(i)
10x+3y=33...(ii)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर
10x-14y=16
समीकरण (2) में से (3) को घटाने पर
17y=17
y=1
समीकरण (1) में y=1 रखने पर
5x-7×1=8
5x=8+7=15
$x=\frac{15}{5}=3$
x=3 , y=1
Question 7
समीकरण a x+b y=2 और b x+a y=3 में से y को विलुप्त कीजिए।
Sol :
ax+by=2...(1)
bx+ay=3...(2)
समीकरण (1) को a से गुणा करने पर
$a^{2} x+a b y=2 a$...(3)
समीकरण (2) को b से गुणा करने पर
$b^{2} x+a b y=3 b$...(4)
समीकरण (3) में से (4) को घटाने पर
$a^{2} x-b^{2} x=2 a-3 b$
$x\left(a^{2}-b^{2}\right)=2 a-3 b$
$x=\frac{2 a-3 b}{a^{2}-b^{2}}$
Question 8
यदि 2 x y=4 x+3 y, तो y का मान x के पदों में व्यक्त कीजिए।
Sol :
2 x y=4 x+3 y
2 x y-3 y=4 x
y(2 x-3)=4 x
$y=\frac{4 x}{2 x-3}$
अतः $y=\frac{4 x}{2 x-3}$
Question 9
हल कीजिए : x+y=8, x-y+2=0
Sol :
x+y=8...(i)
x-y=-2...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोडने पर,
2x=6 या x=3
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3+y=8
y=8-3=5
अतः x=3 और y=5
Question 10
हल कीजिए :
$\sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0$
$\sqrt{3} x-\sqrt{8} y=0$
Sol :
दिए गए रैखिक समीकरण हैं :
$\sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0$
$\sqrt{3} x-\sqrt{8} y=0$
सर्मीकरण (i) में $\sqrt{8}$ का तथा (ii) में $\sqrt{3}$ का गुणा करने पर,
$4 x+\sqrt{24} y=0$
$3 x-\sqrt{24} y=0$
जोड़ने पर,
7x=0 या x=0
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
$\sqrt{3} y=0$ या y=0...(iii)
अतः रैखिक समीकरण के हल हैं : x=0 तथा y=0
Question 11
हल कीजिए : 3 x-8 y=3, x=3 y
Sol :
दिया है:
3x-8y=3...(i)
x=3y...(ii)
समीकरण (i) में (ii) से x=3 y रखने पर,
3(3y)-8y=3
9y-8y=3
y=3
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x=3×3=9
अतः x=9 और y=3
Question 12
हल कीजिए:
2x+y=5
3x+2y=8
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरणों के युग्म :
2x+y=5...(i)
3x+2y=8...(ii)
समीकरण (i) में 2 का गुणा करने पर,
4x+2y=10...(iii)
समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर,
x=2
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
4+y=5
y=5-4=1
अतः x=2 तथा y=1 समीकरण के युग्म का हल होगा।
Question 13
$x-y=a^{2}-a b+b^{2}$
तथा $x+y=a^{2}+a b+b^{2}$
Sol :
$x-y=a^{2}-a b+b^{2}$...(i)
तथा $x+y=a^{2}+a b+b^{2}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोडने पर
$2x=2 a^{2}+2 b^{2}$
$x=a^{2}+b^{2}$
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
-2y=-2ab
y=ab
$x=a^{2}+b^{2}$, y=a b
Question 14
हल कीजिए : 2 x+3 y=18,4 x+6 y=17
Sol :
दिया है:
2x+3y=18....(i)
4x+6y=17...(ii)
समीकरण (i) मे 2 का गुणा करने पर
4x+6y=36...(iii)
अब समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर,
(4 x+6 y)-(4 x+6 y)=36-17
0=19
जोकि असत्य है।
अतः समीकरणों के युग्म का कोई हल नही है।
Question 15
हल कीजिए : $x-y=13=\sqrt{x}+\sqrt{y}$.
Sol :
x-y=13...(i)
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=13$...(ii)
पुनः समीकरण (i) लेने पर,
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=13$ [समीकरण (ii) से]
$(\sqrt{x}-\sqrt{y}) 13=13$ ...(iii)
अब समीकरण (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर,
$2 \sqrt{x}=14$ या $\sqrt{x}=7$
x=49
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
49-y=13
y=49-13=36
अतः x=49 तथा y=36
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