प्रश्नावली 3 (A)
Question 1
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, "सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।" इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
Sol :
मान लीजिए आफताब और उसकी पुन्नी की वर्तमान आयु x और y वर्ष है।
सात वर्ष पूर्व आफताब की आयु (x-7) वर्ष और उसकी पुत्री की आयु (y-7) वर्ष होगी।
प्रश्ननानुसार (x-7)=7(y-7)
x-7=7y-49
x-7y=7-49
x-7y=-42...(i)
3 वर्ष बाद आफताब की आयु (x+3) वर्ष और उसकी पुत्री की आयु (y+3) वर्ष होगी।
प्रश्ननानुसार (x+3)=3(y+3)
x+3=3y+9
x-3y=9-3
x-3y=6...(ii)
अतः बंजगणितीय रूप से समीकरण (i) और (ii) को निंम्नलिखित प्रकार से लिखा जा सकता है :
x-7y+42=0
x-3y-6=0
अब हम उपर्युक्त दोनों रैखिक समीकरणों को ग्राफीय विधि द्वारा हल करते हैं-
समीकरण (i) से,
x-7y=-42
x=7y-42
माना y=5,6,7 लेने पर
y=5 रखने पर, $x=7 \times 5-42=-7$
y=6 रखने पर, $x=7 \times 6-42=0$
y=7 रखने पर, $x=7 \times 7-42=7$
अतः समीकरण (i) से प्राप्त बिन्दु A(-7,5), B(0,6) और C(7,7) हैं।
अब समीकरण (ii) से, (दिया है)
x-3y=6
x=3y+6
माना y=-1, -2, -3 लेने पर
y=-1 रखने पर , ∴x=3×(-1)+6=3
y=-2 रखने पर , ∴x=3×(-2)+6=0
y=-3 रखने पर , ∴x=3×(-3)+6=-3
अतः समीकरण (ii) से प्राप्त बिन्दु D(3,-1), E(0,-2) और F(-3,-3) हैं।
अर्थात् हम इनको तालिका रूप में भी निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते हैं।
| y | 5 | 6 | 7 |
| x=7y-42 | -7 | 0 | 7 |
| y | -1 | -2 | -3 |
| x=3y+6 | 3 | 0 | -3 |
अब समीकरण (i) और (ii) से प्राप्त सभी बिन्दुओं को निम्न प्रकार से आलेखित करते
हैं :
Question 2
2 क्रिग्रा सेब़ और 1 किग्रा. अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद
4 किग्रा सेब और 2 किम्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को
बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
Sol :
माना 1 किग्रा. सेब का मूल्य = ₹ x तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹ y हो, तब
2 किग्रा. सेब और 1 किग्रा अंगूर का कुल मूल्य = ₹ 160
∴2x+y=160...(i)
द्वितीय शर्तानुसार
4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का कुल मूल्य = ₹ 300 (दिया है)
∴4x+2y=300
2x+y=150...(ii)
अतः बीजगणितीय रूप से समीकरण (i) और (ii) को निम्नलिखित प्रकार से लिखा जा सकता
है :
y=160-2x तथा y=150-2x
अब हम उपर्युक्त दोनों रैखिक समीकरणों को ग्राफीय विधि द्वारा हल करते हैं।
समीकरण (i) से,
2x+y=160
∴y=160-2x
माना x=50 , 100 , 150 लेने पर
x=50 रखने पर, ∴ y=160-2×50=60
x=100 रखने पर, ∴ y=160-2×100=-40
x=150 रखने पर, ∴ y=160-2×150=-140
अतः समीकरण (i) से प्राप्त बिन्दु A(50,60), B(100,-40) तथा C(150,-140) हैं
x=50 रखने पर, ∴ y=150-2×50=50
x=100 रखने पर, ∴ y=150-2×100=-50
x=150 रखने पर, ∴ y=150-2×150=-150
अतः समीकरण (ii) से प्राप्त बिन्दु D(50,50), E(100,-50) तथा F(150,-150)
हैं अर्थात् हम इनको तालिका रूप में निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते हैं-
| x | 50 | 100 | 50 |
| y=160-2x | 60 | -40 | -140 |
| y=150-2x | 50 | -50 | -150 |
अब समीकरण (i) तथा (ii) से प्राप्त सभी बिन्दुओं को आलेखित करते हैं :
Question 3
दो रेल पटरियाँ, समीकरणों x+2y-4=0 और 2x+4y-12=0 द्वारा निरूपित की गयी हैं।
इस स्थिति को ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
Sol :
दिए गए समीकरण है:
x+2y-4=0
$y=\frac{4-x}{2}$
इससे प्राप्त हल हैं :
| x | 0 | 4 |
| y | 2 | 0 |
तथा
2x+4y-12=0
$y=\frac{12-2 x}{4}$
अब इससे प्राप्त हल हैं :
| x | 0 | 6 |
| y | 3 | 0 |
उपरोक्त दोनों समीकरणों से प्राप्त हलों को हम निम्नलिखित आकृति में आलेखित करते
हैं।
उपरोक्त दोनों आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ किसी भी बिन्दु पर कहीं पर भी
प्रतिच्छेदित नहीं होती है।
अर्थात् समान्तर हैं।
Question 4
(i) 5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5
कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य
ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
Sol :
माना 1 पेंसिल का मूल्य = ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य =50 ( दिया है)
∴5x+7y=50 ....(i)
द्वितीय शर्तानुसार,
7 पेंसिल और 5 कलमों का कुल मूल्य = 46
∴7x+5y=46...(ii)
अत : रैखिक समीकरण युग्म :
5x+7y=50
और 7x+5y=46
अब समीकरण (i) से,
5x+7y=50
या 7y=50-5x
$y=\frac{50-5 x}{7}$
माना x=10 , -4 लेने पर
x=10 रखने पर ∴ $y=\frac{50-5 \times 10}{7}=0$
x=-4 रखने पर ∴ $y=\frac{50-5 \times-4}{7}=10$
अतः इससे प्राप्त बिन्दु A(10,0) तथा B(-4,10) हैं।
अब समीकरण (ii) से,
7x+5y=46
5y=46-7x
$y=\frac{46-7 x}{5}$
माना x=8 , -2 लेने पर,
x=-2 रखने पर, ∴$y=\frac{46-7 \times-2}{5}=\frac{46+14}{5}=\frac{60}{5}=12$
x=8 रखने पर, ∴ $y=\frac{46-7 \times
8}{5}=\frac{46-56}{5}=\frac{-10}{5}=-2$
अतः इससे प्राप्त बिन्दु C(-2,12) तथा D(8,-2) हैं, अब हम इनको तालिका रूप में
निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते है:
| x | 10 | -4 |
| $y=\frac{50-5 x}{7}$ | 0 | 10 |
| x | 8 | -2 |
| $y=\frac{-46-7 x}{5}$ | -2 | 12 |
अब समीकरण (i) तथा (ii) से प्राप्त सभी बिन्दुओं को आलेखित करते हैं:
अतः आलेख में दोनों रेखाएँ p तथा q एक-दूसरे को Q बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती
हैं।
अतः प्रतिच्छेदन बिन्दु Q(3,5) ही इसका हल है।
∴ x=3 तथा y=5
अतः 1 पेंसिल का मूल्य =₹ 3
तथा 1 कलम का मूल्य =₹ 5
(ii) कक्षा X के 10 विद्यार्थियो ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में
भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्म से 4 अधिक हो, तो
प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों और लड़कियों की संख्या
ज्ञात कीजिए।
Sol :
मान लीजिए लड़के और लड़कियों की संख्या क्रमशः x और y हो, तब
कुल विद्यार्थियों की संख्या = 10
∴x+y=10...(i)
लड़कियों की संख्या = लड़कों की संख्या + 4
y=x+4
∴y-x=4...(ii)
अतः रैखिक समीकरण युग्म :
x+y=10 और y-x=4
ग्राफीय विधि : समीकरण (i) से,
x+y=10 या y=10-x
माना x=2,4,6 लेने पर ,
x=2 रखने पर , ∴ y=10-2=8
x=4 रखने पर , ∴ y=10-4=6
x=6 रखने पर , ∴ y=10-6=4
अत : इससे प्राप्त बिन्दु A(2,8,), B(4,6) तथा C(6,4)
अब समीकरण (ii) से,
माना x=1,2,3 लेने पर,
x=1 रखने पर , ∴ y=1+4=5
x=2 रखने पर , ∴ y=2+4=6
x=3 रखने पर , ∴ y=3+4=7
अत : इससे प्राप्त बिन्दु D(1,5), E(2,6) तथा F(3,7) हैं।
| x | 2 | 4 | 6 |
| y=10-x | 8 | 6 | 4 |
| x | 1 | 2 | 3 |
| y=x+4 | 5 | 6 | 7 |
समीकरण (i) तथा (ii) से प्राप्त सभी बिन्दुओं को निम्न प्रकार से आलेखित करते
हैं:
अतः आलेख में दोनों रेखाएँ p तथा q एक-दूसरे को F बिन्दु पर काटती हैं।
अतः प्रतिच्छेदन बिन्दु F(3,7) ही इसका हल होगा।
∴x=3 तथा y=7
अतः लड़कों की संख्या =3
तथा लड़कियों की संख्या =7
Question 5
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और
$\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म
द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा
सम्पाती हैं :
(i) 5x-4y+8=0, 7x+6y-9=0
Sol :
दिए गए दोनों समीकरण :
5x-4y+8=0...(i)
7x+6y-9=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=5, b_{1}=-4$ तथा $c_{1}=8$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=7, b_{2}=6$ तथा $c_{2}=-9$
∵$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}$ तथा $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}$
∵$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ अथात $\frac{5}{7} \neq
\frac{-4}{6}$
अतः दोनों समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेंगी।
(ii) 9x+3y+12=0, 18x+6y+24=0
Sol :
दिए गए समीकरण युग्म :
9x+3y+12=0...(i)
और 18x+6y+24=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=9, b_{1}=3$ तथा $c_{1}=12$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}, \quad
\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
तथा $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}$
और समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=18, b_{2}=6$ तथा $c_{2}=24$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}, \quad
\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
तथा $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
∴
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}$
अतः दोनों समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती हैं।
(iii) 2x-y+9=0, 6x-3y+10=0
Sol :
दिए गए समीकरण युग्म :
6x-3y+10=0...(i)
2x-y+9=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=6, b_{1}=-3$ तथा $c_{1}=10$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=2, b_{2}=-1$ तथा $c_{2}=9$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}, \quad
\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}=\frac{3}{1}$ तथा
$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}$
$\because \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{1} \neq
\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दोनों समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर है।
Question 6
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं,
यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
(i) x+y=5, 2x+2y=10
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरण :
x+y=5
x+y-5=0
2x+2y=10
2x+2y-10=0
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=1, b_{1}=1$ तथा ${c_{1}}=-5$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=2, b_{2}=2$ तथा $c_{2}=-10$
अतः $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2},
\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}$
$\because \quad
\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}$
अतः समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे इसलिए समीकरण युग्म संगत है।
अब रेखा x+y=5, से x=5-y
माना y=1,2,3 लेने पर
y=1 रखने पर , ∴ x=5-1=4
y=2 रखने पर , ∴ x=5-2=3
y=3 रखने पर , ∴ x=5-3=2
अतः दिए गए समीकरण (i) से प्राप्त बिन्दु A(4,1), B(3,2) तथा C(2,3) हैं।
अर्थात् हम इनको निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते है :
| y | 1 | 2 | 3 |
| x=5-y | 4 | 3 | 2 |
अब इन बिन्दुओं को निम्नलिखित प्रकार से आलेखित करेंगे :
(ii) x-y=8 , 3x-3y=16
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरण :
x-y=8
x-y-8=0...(i)
3x-3y=16
3x-3y-16=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=1, b_{1}=-1$ तथा $c_{1}=-8$
तथा समीकरण' (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=3, b_{2}=-3$ तथा $c_{2}=-16$
अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}$
तथा $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ अथात् $\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$
∴दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा। अतः दिया गया समीकरण युग्म असंगत है।
(iii) 2x+y-6=0 , 4x-2y-4=0
Sol :
दिए गए रैैखिक समीकरण :
2x+y-6=0...(i)
4x-2y-4=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=2, b_{1}=1$ तथा $c_{1}=-6$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=4, b_{2}=-2$ तथा $c_{2}=-4$
अतः $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \quad \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$
∴$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
अतः समीकरण युग्म संगत है और उसका एक अद्वितीय हल होगा ।
अब समीकरण (i) से, 2x+y-6=0
या y=6-2x
माना x=1,2,3 लेने पर
x=1 रखने पर, y=6-2×1=4
x=2 रखने पर, y=6-2×2=2
x=3 रखने पर, y=6-2×3=0
अतः समीकरण (i) से प्राप्त बिन्दु A(1,4), B(2,2) तथा C(3,0) हैं।
अब समीकरण (ii) से,
4x-2y-4=0 या 4x-2y=4
या 2x=y+2
$x=\frac{y+2}{2}$
$x=\frac{y+2}{2}$
माना y=0,2,4 लेने पर
y=0 से, $x=\frac{0+2}{2}=1$
y=2 , से $x=\frac{2+2}{2}=2$
y=4, से $x=\frac{4+2}{2}=3$
अत : समीकरण (ii) से प्राप्त बिन्दु D(1,0), E(2,2) तथा F(3,4) हैं।
अर्थात् हम इनको निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते हैं:
| x | 1 | 2 | 3 |
| y=6-2x | 4 | 2 | 0 |
| y | 0 | 2 | 4 |
| $x=\frac{y+2}{2}$ | 1 | 2 | 3 |
अब हम समीकरण (i) तथा (ii) से प्राप्त बिन्दुओं को निम्नलिखित प्रकार से आलेखित करेंगे :
यहाँ पर प्राप्त दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं जो बिन्दु B या E(2,2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः इनका हल होगा : x=2 तथा y=2
(iv) 2x-2y-2=0 , 4x-4y-5=0
Sol :
दिए गए रखिक समीकरण:
2x-2y-2=0...(i)
4x-4y-5=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=2, b_{1}=-2$ तथा $c_{1}=-2$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=4, b_{2}=-4$ तथा $c_{2}=-5$
तथा $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$
∴$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ अर्थात् $\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \neq \frac{2}{5}$
∴समीकरण युग्म का कोई हल प्राप्त नहीं होगा। अतः दिया गया समीकरणों का युग्म असंगत होगा।
Question 7
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित सभीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :
(i) 3x+2y=5 ; 2x-3y=7
Sol :
3x+2y=5
3x+2y-5=0...(i)
2x-3y=7
2x-3y-7=0...(ii)
समीकरणे (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने से,
$a_{1}=3, b_{1}=2$ तथा $c_{1}=-5$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=2, b_{2}=-3$ तथा $c_{2}=-7$
अतः $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}$
∵$\frac{a_{1}}{b_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ अर्थात् $\frac{3}{2} \neq \frac{2}{-3}$
चूँकि इन दोनों समीकरणों का एक अद्वितीय हल है अतः दिए गए रेखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
(ii) 2x-3y=8 ; 4x-6y=9
Sol :
2x-3y=8
2x-3y-8=0...(i)
4x-6x=9
4x-6y-9=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने से,
$a_{1}=2, b_{1}=-3$ तथा $c_{1}=-8$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=4, b_{2}=-6$ तथा $c_{2}=-9$
अतः $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9}$
∵$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अर्थात $\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \neq \frac{8}{9}$
चूँकि इन दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है।
इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण का युग्म असंगत है।
(iii) $\frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y=7$ ; 9x-10y=14
Sol :
$\frac{3}{2} x+\frac{5}{3} y=7$
9x+10y=42
9x+10y-42=0...(i)
9x-10y=14
9x-10y-14=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=9, b_{1}=10$ तथा $c_{1}=-42$
तथा संमीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=9, b_{2}=-10$ तथा $c_{2}=-14$
अतः $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{9}=\frac{1}{1}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{10}{-10}=\frac{1}{-1}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-42}{-14}=\frac{3}{1}$
∵$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ अर्थात $\frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}$
∴इन दोनों समीकरणों का अद्वितीय हल होगा।
अत: दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
(iv) 5x-3y=11 ; 10x+6y=-22
Sol :
5x-3y=11
5x-3y-11=0...(i)
-10x+6y=-22
-10x+6y+22=0...(ii)
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=5, b_{1}=-3$ तथा $c_{1}=-11$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=-10, b_{2}=6$ तथा $c_{2}=22$
अत: $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=\frac{-1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-11}{22}=\frac{-1}{2}$
∵$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=-\frac{1}{2}$
अतः दोनों समीकरण सम्पाती रेखाएँ निरूपित कोंगे और इसके अनेक हल होंगे।
Question 8
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मी. अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मी. है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मी. तथा चौड़ाई y मी. है।
प्रथम शार्तानुसार,
आयताकार बाग की लम्बाई = चौड़ाई + 4
x=y+4
x-y=4....(i)
द्वितीय शतर्नुसार,
आयताकार बाग का अर्द्ध परिमाप = 36 मी.
$\frac{1}{2} \times 2(x+y)=36$
x+y=36...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
2x=40
∴x=20
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
20-y=4
-y=4-20
-y=-16
y=16
अतः आयताकार बाग की लम्बाई 20 मी. तथा चौड़ाई 16 मी. है।
Question 9
एक रैखिक समीकरण 2x+3y-8=0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हें।
Sol :
(i) दिया गया रेखिक समीकरण
2x+3y-8
इसकी तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=2, b_{1}=3, c_{1}=-8$
अब एक नया रैखिक समीकरण बनाना है जिसके युग्म से प्रतिच्छेदी रेखाएँ सम्भव हों।
माना $a_{2}=3, b_{2}=2, c_{2}=-7$
इसको $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ के रूप में लिखने पर,
3x+2y-7=2
(ii) ∵समान्तर रेखाओं के लिए समीकरण युग्म का रूप होगा :
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
∵समीकरण युग्म का एक समीकरण दिया है :
2x+3y-8=0
इसकी तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=2, b_{1}=3, c_{1}=-8$
अतः समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण निम्नलिखित प्रकार से सम्भव हो सकता है :
2x+3y-12=0
(iii) सम्पाती रेखाओं के लिए समीकरण युग्म का रूप होगा :
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
∵समीकरण युग्म का एक समीकरण दिया है :
2x+3y-8=0
यदि हम दिए हुए इसी समीकरण में 2 का गुणा करें तो परिणाम $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ के रूप में ही प्राप्त होगा।
∴4x+6y-16=0
Question 10
समीकरणों x-y+1=0 और 3x+2y-12=0 का ग्राफ खीचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
Sol :
दिए गए समीकरण,
x-y+1=0
3x+2y-12=0
समीकरण (i) से,
y=x+1
जब x=-1 , तब y=1-1=0
जब x=0 , तब y=0+1=1
जब x=1 , तब y=1+1=2
समीकरण (i) से प्राप्त बिन्दु A(-1,0), B(0,1) तथा C(1,2) हैं।
अब समीकरण (ii) से,
$y=\frac{12-3 x}{2}$
जब x=2, तब $y=\frac{12-3 \times 2}{2}=3$
जब x=4, तब $y=\frac{12-3 \times 4}{2}=0$
जब x=6, तब $y=\frac{12-3 \times 6}{2}=-3$
अतः समीकरण (ii) से प्राप्त बिन्दु D(2,3), E(4,0) तथा F(6,-3) हैं
अब इन बिन्दुओं द्वारा हम निम्नलिखित ग्राफ अलेखित करेंगे-
अतः समीकरण (i) तथा (ii) से ग्राफ खींचने पर हमें एक ΔADE प्राप्त हुआ जिसके शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1,0), (2,3), तथा (4,0) है।
Question 11
समीकरणं 2x+y=4 तथा 2x-y=4 के युग्म का ग्राफ खींचिए। इन रेखओ और y-अक्ष से बनने वाले त्रिभुज के शीर्ष बिन्नुओं के निर्देशांक लिखिए। साथ ही इस त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है-
2x+y=4...(i)
2x-y=4...(ii)
समीकरण (i) से,
यदि x=0, तो y=4-0=4
यदि x=1, तो y=4-2=2
यदि x=2, तो y=4-4=0
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 2 | 0 |
समीकरण (ii) से ,
2x-y=4
2x-y=4
y=2x-4
यदि x=0, तो y=2×0-4=-4
यदि x=2, तो y=2×2-4=4-4=0
यदि x=3, तो y=2×3-4=6-4=2
| x | 0 | 2 | 3 |
| y | -4 | 0 | 2 |
यहाँ दोनों रेखाएँ और y-अक मिलकर ΔABC का निर्माण कतते हैं।
अत: ΔABC के शीर्ष A(0,4), B(2,0) तथा C(0,-4) हैं
∴ΔABC का केत्रफल =2×समकोण ΔAOB का केत्रफल
$=2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 4=8$ वर्ग इकाई
Question 12
k के किस मान के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x+y=1
(2k-1)x+(k-1)=2k+1
Sol :
दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म :
3x+y=1
(2k-1)x+(k-1)=2k+1
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ से करने पर,
$a_{1}=3, b_{1}=1$ तथा $c_{1}=-1$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=2 k-1, b_{2}=k-1$, तथा $c_{2}=-(2 k+1)$
$\therefore \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2 k-1}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{k-1}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-1}{-(2 k+1)}$
अब कोई हल न होने हेतु,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}$ से
$\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}$
⇒3(k-1)=1(2k-1)
⇒3k-3=2k-1
⇒3k-2k=3-1
⇒k=2
Question 13
a और b के किन मानों के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे ?
2x+3y=7
(a-b)x+(a+b)y=3a+b-2
Sol :
2x+3y=7
(a-b)x+(a+b)y=3a+b-2
समीकरण (i) की तुलना $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ करने पर,
$a_{1}=2, b_{1}=3$ तथा $c_{1}=-7$
तथा समीकरण (ii) की तुलना $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ से करने पर,
$a_{2}=a-b, b_{2}=a+b, c_{2}=-(3 a+b-2)$
∴$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{a-b}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{a+b}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-(3 a+b-2)}=\frac{7}{3 a+b-2}$
अपरिमित रूप से अनेक हल होने हेतु,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\frac{2}{a-b}=\frac{7}{(3 a+b-2)}$
7(a-b)=2(3a+b-2)
7a-7b=6a+2b-4
7a-6a-7b-2b=-4
a-9b=-4...(iii)
इसी प्रकार
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}$
7(a+b)=3(3 a+b-2)
7a+7b=9a+3 b-6
7a-9a+7b-3b=-6
-2a+4 b=-6
a-2b=3...(iv)
समीकरण (iii) तथा समीकरण (iv) को हल करनेपर
a=5 तथा b[=1
अतः a=5 तथा b=1 समीकरण के युग्मो के हल होंगे।
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